Lorsque nous étudions la croissance exponentielle d'un organisme (comme les cyanobactéries), si le taux de croissance est de $6,25\%$, le nombre après $x$ jours peut être exprimé par $y = (1+6,25\%)^x$. Et si $x$ n'est pas un entier (par exemple $1,5$ jour), cette formule a-t-elle encore un sens ? Pour répondre à cette question, nous devons étendre la définition de l'exposant des entiers aux nombres rationnels, voire aux réels — c'est une nécessité incontournable de l'extension du système numérique.
Racines $n$-ième et exposants fractionnaires
Définition de la racine $n$-ième : En général, si $x^n = a$, alors $x$ est appelé la racine $n$-ième de $a$, où $n > 1$ et $n \in \mathbf{N}^*$. L'expression $\sqrt[n]{a}$ est appelée un radical.
Exposant fractionnaire : Pour uniformiser les propriétés opératoires, on définit l'exposant fractionnaire positif d'un nombre positif comme suit : $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ pour $a > 0$. Cela signifie que tous les radicaux peuvent être transformés en forme exponentielle pour faciliter les calculs.
Le radical est une manifestation de l'opération exponentielle dans le domaine des fractions. En définissant l'exposant fractionnaire, nous supprimons la frontière entre le radical et l'exposant, permettant ainsi une unification des propriétés opératoires.
$$(\sqrt[n]{a})^n = a, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \text{ pour } b > 0$$